В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 6 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Дано. O — центр вписанной окружности треугольника ABC; расстояния от O до вершины A, до прямой AD и до прямой AC равны 13, 6 и 5 соответственно.
1. Радиус вписанной окружности. Прямая AC — сторона треугольника ABC, поэтому расстояние от центра O до неё равно радиусу: r=5. Значит, вписанная окружность касается всех сторон AB, BC, CA на расстоянии 5 от O.
2. Длина касательной из вершины A. Пусть окружность касается стороны AB в точке P. Тогда OP=r=5 и OP⊥AB, а OA=13. Из прямоугольного треугольника OPA по теореме Пифагора
AP=OA2−OP2=132−52=169−25=12.Длина касательной из вершины A равна s−a, где s — полупериметр треугольника ABC, a=BC. Поэтому
s−a=12,то естьb+c−a=24,где b=CA, c=AB (так как s−a=2b+c−a).
3. Высота параллелограмма. В параллелограмме ABCD сторона AD параллельна стороне BC. Вписанная окружность треугольника ABC касается BC, поэтому расстояние от O до прямой BC равно r=5. Точка O лежит внутри треугольника ABC, а значит, строго между параллельными прямыми AD (проходит через вершину A) и BC. Следовательно, расстояние между этими прямыми
h=ρ(O,AD)+ρ(O,BC)=6+5=11.Это и есть высота параллелограмма, опущенная на сторону AD. Поэтому
SABCD=AD⋅h=a⋅11=11a.4. Второе выражение площади. Диагональ AC делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому SABCD=2SABC. Площадь треугольника через радиус вписанной окружности: SABC=r⋅s=5s. Значит,
SABCD=2⋅5s=10s=5(a+b+c).5. Находим стороны. Приравняем два выражения площади:
11a=5(a+b+c)=5a+5(b+c) ⇒ 6a=5(b+c).Из пункта 2: b+c=a+24. Подставим:
6a=5(a+24)=5a+120 ⇒ a=120.6. Площадь.
SABCD=11a=11⋅120=1320.Проверка. Тогда b+c=144, s=2a+b+c=132, SABC=rs=5⋅132=660, откуда SABCD=2⋅660=1320 — совпадает.
Ответ: 1320.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ