Задача №20402

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC\text{.}$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{.}$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма $ABCD\text{.}$

Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{,}$ поэтому $O$ равноудалена от всех сторон этого треугольника: расстояние от $O$ до любой из прямых $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $AC$ равно радиусу вписанной окружности $r\text{.}$ По условию расстояние от $O$ до прямой $AC$ равно $7\text{,}$ значит $r=7\text{.}$

Шаг 1. Угол при вершине $A\text{.}$
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла $BAC\text{,}$ поэтому луч $AO$ делит угол $BAC$ пополам. Обозначим $\angle OAC=\alpha \text{.}$ Опустим из $O$ перпендикуляр на прямую $AC\text{;}$ в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $AO=25$ и катетом $r=7$ (расстояние до $AC$):

Проекция $AO$ на прямую $AC$ равна длине отрезка касательной из вершины $A\text{:}$

где $K$ — точка касания окружности со стороной $AC\text{.}$ Отрезок касательной из вершины $A$ равен $p-a\text{,}$ где $p$ — полупериметр треугольника $ABC\text{,}$ а $a=BC\text{:}$

Шаг 2. Высота параллелограмма.
Прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ (противоположные стороны параллелограмма). Расстояние от $O$ до прямой $BC$ равно $r=7$ (это сторона треугольника $ABC$), а расстояние от $O$ до прямой $AD$ равно $13\text{.}$ Точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC\text{,}$ то есть между параллельными прямыми $AD$ и $BC\text{.}$ Поэтому расстояние между этими прямыми — а это высота $h$ параллелограмма, проведённая к стороне $AD\text{,}$ — равно

Шаг 3. Две записи площади.
Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных треугольника $ABC$ и $ACD\text{,}$ значит

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр: $S_{ABC}=rp=7p\text{,}$ поэтому

С другой стороны, площадь параллелограмма равна произведению стороны $AD$ на высоту к ней. Так как $AD=BC=a$ и $h=20\text{:}$

Шаг 4. Находим $a$ и площадь.
Из $p-a=24$ получаем $p=a+24\text{.}$ Приравнивая два выражения для площади:

Тогда $p=80$ и

Ответ: $1120\text{.}$