Задача №19853

Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 40 и 41,
а основание $BC$ равно 16. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB\text{.}$ Найдите площадь трапеции.

Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB\text{,}$ а $DM$ — биссектриса угла $ADC\text{.}$ Основания трапеции $BC\parallel AD\text{.}$

Дополнительное построение. Продлим биссектрису $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K\text{.}$

Рассмотрим треугольники $ADM$ и $BKM\text{:}$

• $AM=MB$ ($M$ — середина $AB$);
• $\angle AMD=\angle BMK$ (вертикальные);
• $\angle DAM=\angle KBM$ (накрест лежащие при $AD\parallel BK$ и секущей $AB$).

Значит, $△ADM=△BKM$ (по стороне и двум прилежащим углам). Отсюда $BK=AD$ и $DM=MK\text{.}$

Треугольник $KDC$ равнобедренный. Так как $AD\parallel BC\text{,}$ то $\angle ADK=\angle DKC$ (накрест лежащие). А поскольку $DK$ — биссектриса, $\angle ADK=\angle KDC\text{.}$ Следовательно, $\angle DKC=\angle KDC\text{,}$ то есть треугольник $KDC$ равнобедренный и $KC=DC=41\text{.}$

Точка $K$ лежит на прямой $BC$ за точкой $B\text{,}$ поэтому $KC=KB+BC\text{.}$ Тогда

а значит $AD=BK=25\text{.}$

Находим высоту. Итак, основания трапеции равны $BC=16$ и $AD=25\text{,}$ боковые стороны $AB=40\text{,}$ $CD=41\text{.}$ Опустим из $B$ и $C$ высоты на $AD\text{;}$ пусть их проекции на основание равны $x$ (со стороны $A$) и $y$ (со стороны $D$). Тогда

Вычитая, получаем $y^2-x^2=41^2-40^2=81\text{,}$ то есть $(y-x)(y+x)=81\text{.}$ Так как $y+x=9\text{,}$ то $y-x=9\text{.}$ Отсюда $x=0\text{,}$ $y=9\text{.}$

Значит, $h^2=40^2-0^2=1600\text{,}$ $h=40$ (сторона $AB$ перпендикулярна основаниям).

Площадь трапеции:

Ответ: $820\text{.}$