Задача №19950

Углы при одном из оснований трапеции равны $7^{\circ }$ и $83^{\circ }\text{,}$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 14 и 11. Найдите основания трапеции.

Обозначим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD=a$ и $BC=b$ (пусть $a>b$), причём при основании $AD$ углы $\angle A=7^{\circ }$ и $\angle D=83^{\circ }\text{.}$

Шаг 1. Средняя линия. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — это средняя линия трапеции, её длина равна полусумме оснований:

Шаг 2. Отрезок между серединами оснований. Так как $\angle A+\angle D=7^{\circ }+83^{\circ }=90^{\circ }\text{,}$ продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P\text{.}$ В треугольнике $APD$ имеем $\angle P=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }\text{.}$

Пусть $M$ и $N$ — середины оснований $AD$ и $BC\text{.}$ Прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит и через точку пересечения продолжений боковых сторон, поэтому точки $P\text{,}$ $N\text{,}$ $M$ лежат на одной прямой (причём $N$ между $P$ и $M$).

В прямоугольном треугольнике $APD$ отрезок $PM$ — медиана к гипотенузе $AD\text{,}$ значит $PM=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}\text{.}$ Так как $BC\parallel AD\text{,}$ треугольник $BPC$ тоже прямоугольный с прямым углом при $P\text{,}$ и $PN$ — медиана к гипотенузе $BC\text{,}$ поэтому $PN=\frac{BC}{2}=\frac{b}{2}\text{.}$

Отсюда отрезок между серединами оснований

Шаг 3. Система. Даны длины $14$ и $11\text{.}$ Полусумма оснований больше полуразности, поэтому средняя линия равна $14\text{,}$ а отрезок между серединами оснований равен $11\text{:}$

Значит $a+b=28$ и $a-b=22\text{,}$ откуда $a=25\text{,}$ $b=3\text{.}$

Ответ: основания трапеции равны $3$ и $25\text{.}$