Задача №20396

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K\text{.}$ Найдите площадь параллелограмма, если $BC=11\text{,}$ а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 3.

Шаг 1. Биссектрисы перпендикулярны. Углы $A$ и $B$ параллелограмма — соседние, поэтому $\angle A+\angle B=180^{\circ }\text{.}$ Биссектрисы делят их пополам, значит в треугольнике $ABK$

откуда $\angle AKB=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$ (для площади это не нужно, но подтверждает расположение $K$ внутри).

Шаг 2. Точка $K$ равноудалена от трёх сторон. Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A\text{,}$ поэтому она равноудалена от сторон этого угла — прямых $AB$ и $AD\text{.}$ Точка $K$ лежит и на биссектрисе угла $B\text{,}$ поэтому равноудалена от прямых $AB$ и $BC\text{.}$ Расстояние от $K$ до $AB$ равно $3\text{,}$ следовательно

Шаг 3. Высота параллелограмма. Стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а точка $K$ лежит между ними внутри параллелограмма. Значит расстояние между прямыми $AD$ и $BC$ равно

Это и есть высота параллелограмма, опущенная на сторону $BC$ (равную $AD$).

Шаг 4. Площадь. Приняв за основание сторону $BC=11\text{,}$ получаем

Ответ: $66\text{.}$