Задача №20395

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M\text{.}$ Найдите $MC\text{,}$ если $AB=11\text{,}$ $DC=22\text{,}$ $AC=27\text{.}$

Точки $A\text{,}$ $B$ лежат на одной прямой, а $D\text{,}$ $C$ — на параллельной ей прямой; отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M\text{.}$

Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD\text{.}$ Так как $AB\parallel DC\text{,}$ а $AC$ — секущая, то $\angle MAB=\angle MCD$ (накрест лежащие углы). Аналогично при секущей $BD\text{:}$ $\angle MBA=\angle MDC\text{.}$ Значит, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам.

Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон:

Стороны $AM$ и $CM$ — соответственные, поэтому $\frac{AM}{MC}=\frac{1}{2}\text{,}$ то есть $AM=\frac{1}{2}MC\text{.}$

Точка $M$ лежит на отрезке $AC\text{,}$ значит $AM+MC=AC=27\text{.}$ Подставим $AM=\frac{1}{2}MC\text{:}$

Ответ: $MC=18\text{.}$