Задача №20276

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C\text{.}$ Найдите длину отрезка $KP\text{,}$ если $AP=21\text{,}$ а сторона $BC$ в 1,5 раза меньше стороны $AB\text{.}$

Точки $B\text{,}$ $K\text{,}$ $P\text{,}$ $C$ лежат на одной окружности, поэтому $BKPC$ — вписанный (циклический) четырёхугольник. При этом $K$ лежит на стороне $AB\text{,}$ а $P$ — на стороне $AC\text{.}$

Ищем равные углы. У вписанного четырёхугольника $BKPC$ сумма противоположных углов равна $180^{\circ }\text{:}$

Угол $AKP$ — смежный с углом $BKP$ (точки $A\text{,}$ $K\text{,}$ $B$ на одной прямой), значит

Подобие. В треугольниках $AKP$ и $ACB\text{:}$

• угол $A$ — общий;
• $\angle AKP=\angle ACB\text{.}$

По двум углам $△AKP\sim △ACB$ (соответствие вершин $A\leftrightarrow A\text{,}$ $K\leftrightarrow C\text{,}$ $P\leftrightarrow B$).

Отношение сторон. Из подобия

По условию $BC$ в $1,5$ раза меньше $AB\text{,}$ то есть $\frac{BC}{AB}=\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}\text{.}$ Тогда

Ответ: $14\text{.}$