Задача №20388

Углы при одном из оснований трапеции равны $39^{\circ }$ и $51^{\circ }\text{,}$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC$ и $AD\text{,}$ причём углы при основании $AD$ равны $\angle A=39^{\circ }$ и $\angle D=51^{\circ }\text{.}$ Обозначим $BC=b\text{,}$ $AD=a\text{.}$

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — это средняя линия. Она равна полусумме оснований:

Отрезок, соединяющий середины оснований. Продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P\text{.}$ В треугольнике $APD$

то есть треугольник прямоугольный с прямым углом при $P\text{,}$ а $AD$ — гипотенуза.

Пусть $N$ — середина $AD\text{,}$ $M$ — середина $BC\text{.}$ Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому $PN=\frac{a}{2}\text{.}$ Так как $BC\parallel AD\text{,}$ треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD\text{,}$ значит точки $P\text{,}$ $M\text{,}$ $N$ лежат на одной прямой и $PM=\frac{b}{2}\text{.}$ Отсюда отрезок, соединяющий середины оснований, равен

Система. Средняя линия больше отрезка между серединами оснований (при $b>0$), поэтому средней линии соответствует большее из данных чисел, $19\text{:}$

Тогда $a+b=38$ и $a-b=34\text{,}$ откуда

Проверка: полусумма $\frac{36+2}{2}=19\text{,}$ полуразность $\frac{36-2}{2}=17$ — совпадает с условием.

Ответ: основания трапеции равны $2$ и $36\text{.}$