Задача №20272

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD\text{,}$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF\text{,}$ если $AD=33\text{,}$ $BC=18\text{,}$ $CF:DF=2:1\text{.}$

В трапеции $ABCD$ основания $BC=18$ и $AD=33\text{,}$ боковые стороны — $AB$ и $CD\text{.}$ Прямая $EF$ параллельна основаниям, $E\in AB\text{,}$ $F\in CD\text{,}$ причём $CF:DF=2:1\text{.}$

Ратио на второй боковой стороне. Так как $EF\parallel BC\parallel AD\text{,}$ прямая делит обе боковые стороны в одном и том же отношении (по теореме о пропорциональных отрезках). Значит

Вспомогательное построение. Через вершину $B$ проведём прямую, параллельную боковой стороне $CD\text{;}$ пусть она пересекает $EF$ в точке $Q$ и основание $AD$ в точке $P\text{.}$

• Четырёхугольник $BCDP$ — параллелограмм ($BC\parallel PD$ и $BP\parallel CD$), поэтому $PD=BC=18$ и $AP=AD-PD=33-18=15\text{.}$
• Четырёхугольник $BCFQ$ — тоже параллелограмм ($BC\parallel QF\text{,}$ $BQ\parallel CF$), поэтому $QF=BC=18\text{.}$

Подобие. В треугольнике $ABP$ отрезок $EQ\parallel AP$ (обе прямые параллельны основанию $AD$). Значит $△BEQ\sim △BAP$ с коэффициентом

откуда

Итог. Отрезок $EF$ складывается из $EQ$ и $QF\text{:}$

Ответ: $EF=28\text{.}$