Задача №19357

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O\text{.}$ Угол $ACB$ равен $23^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $AOD\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ лежат на окружности, поэтому $\angle ACB$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $AB\text{.}$

Центральный угол $\angle AOB$ опирается на ту же дугу $AB\text{,}$ значит он вдвое больше вписанного:

$$\angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 23^{\circ }=46^{\circ }.$$

Так как $AC$ — диаметр, точки $A\text{,}$ $O\text{,}$ $C$ лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle AOB$ и $\angle AOD$ (где $D$ — второй конец диаметра $BD\text{,}$ точка $B\text{,}$ $O\text{,}$ $D$ также на одной прямой) — часть развёрнутого угла $\angle AOC=180^{\circ }\text{.}$ Углы $\angle AOB$ и $\angle AOD$ смежные:

$$\angle AOD=180^{\circ }-\angle AOB=180^{\circ }-46^{\circ }=134^{\circ }.$$

(Равносильно: $\angle AOD$ вертикален углу $\angle BOC\text{,}$ а в равнобедренном треугольнике $BOC$ с $OB=OC$ и $\angle OCB=23^{\circ }$ угол при вершине $\angle BOC=180^{\circ }-2\cdot 23^{\circ }=134^{\circ }\text{.}$)

Ответ: $134\text{.}$