Задача №20382

Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD\text{.}$

Обозначим центры окружностей $O_1$ (радиус $r=44$) и $O_2$ (радиус $R=77$). Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами

Симметрия. Вся конфигурация симметрична относительно прямой центров $O_1{O}_2\text{:}$ касательные $AC$ и $BD$ симметричны друг другу, точки $A$ и $B$ симметричны, $C$ и $D$ симметричны. Поэтому хорда $AB$ (точки касания на первой окружности) и хорда $CD$ (точки касания на второй) перпендикулярны прямой $O_1{O}_2\text{,}$ а значит $AB\parallel CD\text{.}$ Расстояние между этими параллельными прямыми равно расстоянию между их точками пересечения с осью $O_1{O}_2\text{.}$

Наклон касательной. Рассмотрим общую касательную $AC\text{:}$ она касается первой окружности в точке $A\text{,}$ второй — в точке $C\text{.}$ Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_{1}A\perp AC\text{,}$ $O_{2}C\perp AC$ и $O_{1}A=44\text{,}$ $O_{2}C=77\text{.}$ Значит $O_{1}A\parallel O_{2}C\text{.}$

Проведём через $O_1$ прямую, параллельную $AC\text{;}$ пусть она пересекает $O_{2}C$ в точке $P\text{.}$ Тогда $O_{1}ACP$ — прямоугольник, поэтому $PC=O_{1}A=44$ и $\angle O_{1}P{O}_2=90^{\circ }\text{.}$ Отсюда

В прямоугольном треугольнике $O_{1}P{O}_2$ угол $\phi$ между касательной $AC$ и прямой центров $O_1{O}_2$ равен углу $\angle P{O}_1{O}_2\text{,}$ и

Проекции точек касания на ось. Пусть $A^{\prime }$ и $C^{\prime }$ — основания перпендикуляров из $A$ и $C$ на прямую $O_1{O}_2\text{.}$ Радиус $O_{1}A$ перпендикулярен касательной, наклонённой под углом $\phi$ к оси, поэтому проекция отрезка $O_{1}A$ на ось имеет длину $r\sin \phi$ и направлена в одну и ту же сторону (к точке пересечения касательных). Значит точка $A^{\prime }$ смещена от $O_1$ на

а точка $C^{\prime }$ смещена от $O_2$ в ту же сторону на

Искомое расстояние. Хорды $AB$ и $CD$ проходят через $A^{\prime }$ и $C^{\prime }$ соответственно. Оба смещения направлены в одну сторону вдоль оси, поэтому

Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно $112\text{.}$

Ответ: $112\text{.}$