Задача №20381

Решите неравенство

$$\frac{x^2-8x+12}{x-2}\le 0.$$

Область допустимых значений: знаменатель не равен нулю, поэтому $x-2\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 2\text{.}$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2-8x+12=0$ по теореме Виета: $x_1=2,x_2=6$ (сумма $2+6=8\text{,}$ произведение $2\cdot 6=12$). Значит $x^2-8x+12=(x-2)(x-6)\text{.}$

Неравенство принимает вид:

$$\frac{(x-2)(x-6)}{x-2}\le 0.$$

При $x\ne 2$ множители $x-2$ в числителе и знаменателе сокращаются (их отношение равно $1$), поэтому знак дроби совпадает со знаком выражения $x-6\text{:}$

$$x-6\le 0,x\ne 2.$$

Отсюда $x\le 6$ при условии $x\ne 2\text{.}$

Проверка методом интервалов по исходной дроби $f(x)=\frac{(x-2)(x-6)}{x-2}$ с граничными точками $x=2$ (выколота) и $x=6$ (входит):

• при $x<2\text{:}$ $f(x)<0$ — подходит;
• при $2<x<6\text{:}$ $f(x)<0$ — подходит;
• при $x=6\text{:}$ $f(x)=0$ — подходит ($0\le 0$);
• при $x>6\text{:}$ $f(x)>0$ — не подходит.

Точка $x=2$ исключается, так как в ней знаменатель обращается в ноль.

Ответ: $x\in (-\infty ;2)\cup (2;6]\text{.}$