Задача №19918

Решите неравенство $(5-x)(x^2-25)\ge 0\text{.}$

Разложим левую часть на множители. Так как $x^2-25=(x-5)(x+5)\text{,}$ неравенство принимает вид

Заметим, что $5-x=-(x-5)\text{,}$ поэтому $(5-x)(x-5)=-(x-5{)}^2\text{.}$ Тогда

Множитель $(x-5{)}^2\ge 0$ при всех $x\text{.}$

• Если $x=5\text{,}$ то $(x-5{)}^2=0$ и всё произведение равно $0$ — неравенство $\le 0$ выполнено.
• Если $x\ne 5\text{,}$ то $(x-5{)}^2>0\text{,}$ и остаётся условие $x+5\le 0\text{,}$ то есть $x\le -5\text{.}$

Объединяя оба случая, получаем $x\le -5$ или $x=5\text{.}$

Проверка контрольными точками: $x=-6\Rightarrow 11\cdot 11=121\ge 0$ (верно); $x=0\Rightarrow 5\cdot (-25)=-125<0$ (неверно, точка вне решения); $x=5\Rightarrow 0\ge 0$ (верно).

Ответ: $(-\infty ;-5]\cup \{5\}\text{.}$