Задача №20372

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=34$ и $CD=22$ вписан
в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K\text{,}$
причём $\angle AKB=60^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Ключевая идея. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме двух дуг, которые они высекают. Диагонали $AC$ и $BD$ — это хорды, пересекающиеся в точке $K\text{,}$ и угол $\angle AKB$ высекает дуги $AB$ и $CD\text{.}$ Значит,

Приведём хорды к одному треугольнику. Отложим от точки $B$ хорду $BF\text{,}$ равную $CD$ (то есть $BF=22$), так, чтобы дуга $BF$ равнялась дуге $CD$ и точка $B$ лежала между дугами $AB$ и $BF\text{.}$ Тогда дуга

Находим сторону $AF\text{.}$ Точка $B$ лежит на дуге $AF$ величиной $120^{\circ }\text{,}$ поэтому вписанный угол $\angle ABF$ опирается на дополнительную дугу $360^{\circ }-120^{\circ }=240^{\circ }$ и равен

В треугольнике $ABF$ известны $AB=34\text{,}$ $BF=22$ и угол между ними $\angle ABF=120^{\circ }\text{.}$ По теореме косинусов ($\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$):

Связываем $AF$ с радиусом. Хорда $AF$ стягивает дугу $120^{\circ }\text{,}$ поэтому по теореме синусов (или как хорда: $AF=2R\sin \frac{⌣AF}{2}$):

Тогда $A{F}^2=3R^2\text{,}$ откуда

Проверка. $2\sqrt{199}\approx 28,21\text{.}$ Если $\alpha ,\beta$ — вписанные углы, опирающиеся на дуги $AB$ и $CD\text{,}$ то $\alpha +\beta =60^{\circ }\text{,}$ $\sin \alpha =\frac{17}{R}\text{,}$ $\sin \beta =\frac{11}{R}\text{;}$ при $R=2\sqrt{199}$ получаем $\alpha \approx 37,1^{\circ }\text{,}$ $\beta \approx 22,9^{\circ }\text{,}$ их сумма $60^{\circ }$ — согласуется.

Ответ: $R=2\sqrt{199}\approx 28,21\text{.}$