Задача №20369

Легко

Задача #20369

Треугольники•2 балла

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 36. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Пусть в прямоугольном треугольнике катеты $a = 15$ и $b = 36,$ а $h$ — высота, проведённая к гипотенузе $c .$

1. Находим гипотенузу по теореме Пифагора:

c = a^{2} + b^{2} = 1 5^{2} + 3 6^{2} = 225 + 1296 = 1521 = 39.

2. Площадь треугольника можно записать двумя способами: через катеты (они же высота и основание для прямого угла) и через гипотенузу с высотой к ней:

S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} c h .

Отсюда

h = \frac{a b}{c} = \frac{15 \cdot 36}{39} = \frac{540}{39} = \frac{180}{13} .

Проверка. Площадь по катетам: $S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 36 = 270 .$ Тогда $h = \frac{2 S}{c} = \frac{540}{39} = \frac{180}{13} \approx 13, 8$ — совпадает.