Задача №20364

Постройте график функции

$y=\frac{(0,5x^2+0,5x)\cdot |x|}{x+1}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Упрощение. В числителе выносим множитель: $0,5x^2+0,5x=0,5x(x+1)\text{.}$ Тогда

$$y=\frac{0,5x(x+1)\cdot |x|}{x+1}=0,5x|x|.$$

Сокращение возможно только при $x+1\ne 0\text{,}$ поэтому точка $x=-1$ выколота (не входит в область определения).

Раскрытие модуля. Получаем кусочно-заданную функцию:

• при $x\ge 0\text{:}$ $y=0,5x^2$ — правая ветвь параболы, растёт от $0$ до $+\infty \text{;}$
• при $x<0\text{:}$ $y=-0,5x^2$ — ветвь параболы, направленной вниз, значения от $-\infty$ до $0\text{.}$

Функция $y=0,5x|x|$ нечётная и строго возрастает на всей числовой прямой, то есть каждое своё значение принимает ровно один раз. Её область значений — все действительные числа.

Выколотая точка. При $x=-1$ формула дала бы $y=0,5\cdot (-1)\cdot |-1|=-0,5\text{.}$ Значит, в точке $(-1;-0,5)$ на графике «дырка». Поскольку функция строго возрастает (инъективна), значение $y=-0,5$ она принимает только при $x=-1\text{,}$ а эта точка выколота.

Прямая $y=m\text{.}$ Горизонтальная прямая $y=m$ не пересекает график только тогда, когда значение $m$ нигде не достигается. Все значения, кроме $-0,5\text{,}$ достигаются (в единственной точке), а значение $-0,5$ соответствует лишь выколотой точке. Поэтому общих точек нет ровно при $m=-0,5\text{.}$

Ответ: $m=-0,5\text{.}$