Задача №20363

Решите уравнение $\frac{1}{(x-3{)}^2}-\frac{3}{x-3}-4=0\text{.}$

Область допустимых значений: $x-3\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 3\text{.}$

Введём замену $t=\frac{1}{x-3}\text{.}$ Тогда $\frac{1}{(x-3{)}^2}=t^2\text{,}$ и уравнение принимает вид

По теореме Виета (или через дискриминант $D=9+16=25$) находим корни:

Вернёмся к переменной $x\text{.}$

1) $\frac{1}{x-3}=4\Rightarrow x-3=\frac{1}{4}\Rightarrow x=3\frac{1}{4}=3,25.$

2) $\frac{1}{x-3}=-1\Rightarrow x-3=-1\Rightarrow x=2.$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($x\ne 3$).

Ответ: $x=2$ или $x=3,25\text{.}$