Задача №20362

Окружности радиусов 4 и 60 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$
лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$
и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD\text{.}$

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей радиусов $r=4$ и $R=60\text{.}$ Касание внешнее, поэтому расстояние между центрами

Симметрия. Вся картина симметрична относительно линии центров $O_1{O}_2\text{:}$ касательные $AC$ и $BD$ — зеркальные отражения друг друга, точки $A,B$ симметричны на первой окружности, а $C,D$ — на второй. Значит, хорда $AB$ и хорда $CD$ перпендикулярны прямой $O_1{O}_2\text{,}$ а потому $AB\parallel CD\text{.}$ Искомое расстояние между ними равно длине отрезка линии центров, заключённого между ними; то есть равно расстоянию между проекциями точек $A$ и $C$ на прямую $O_1{O}_2\text{.}$

Угол наклона касательной. Рассмотрим общую внешнюю касательную $AC\text{:}$ $O_{1}A\perp AC$ и $O_{2}C\perp AC\text{,}$ причём $O_{1}A=4\text{,}$ $O_{2}C=60$ лежат по одну сторону, значит $O_{1}A\parallel O_{2}C\text{.}$ Опустим из $O_1$ перпендикуляр на прямую $O_{2}C\text{;}$ основание $F\text{.}$ Тогда $O_{1}AFC$ — прямоугольник, поэтому $CF=O_{1}A=4$ и

В прямоугольном треугольнике $O_{1}F{O}_2$ (прямой угол при $F$) гипотенуза $O_1{O}_2=64\text{,}$ катет $O_{2}F=56\text{.}$ Обозначим $\alpha =\angle F{O}_2{O}_1$ — угол между направлением радиуса $O_{2}C$ и линией центров. Тогда

Проекции точек касания. Радиус $O_{1}A$ параллелен $O_{2}C\text{,}$ поэтому оба радиуса образуют с линией центров один и тот же угол $\alpha \text{.}$ Спроецируем $A$ и $C$ на прямую $O_1{O}_2$ (проекции $A_1$ и $C_1$):

Оба радиуса наклонены в одну сторону (в сторону внешней точки пересечения касательных), поэтому $A_1$ лежит на прямой $O_1{O}_2$ за точкой $O_1$ (вне отрезка), а $C_1$ — внутри отрезка, на расстоянии $52,5$ от $O_2\text{.}$ Тогда расстояние от $O_1$ до $C_1$ равно $O_1{O}_2-O_2{C}_1=64-52,5=11,5\text{.}$

Искомое расстояние.

Эквивалентно: $A_1{C}_1=O_1{O}_2-(R-r)\cos \alpha =64-56\cdot \frac{7}{8}=64-49=15\text{,}$ что совпадает с известной формулой $\frac{4Rr}{R+r}=\frac{4\cdot 60\cdot 4}{64}=15\text{.}$

Ответ: $15\text{.}$