Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=6, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 124∘ и 116∘.
Ключевая идея. Точка M равноудалена от всех вершин четырёхугольника ABCD, значит все четыре вершины лежат на окружности с центром M и радиусом R=MA=MB=MC=MD. Поскольку M — середина стороны AD, точки A, M, D лежат на одной прямой и MA=MD=R, то есть AD=2R — диаметр этой окружности.
Обозначения. Проведём отрезки MB и MC. Тогда треугольники MAB, MBC, MCD равнобедренные (MA=MB=MC=MD=R).
Обозначим ∠MBC=∠MCB=β (углы при основании равнобедренного △MBC).
Углы при вершинах B и C разбиваются диагональными отрезками:
∠ABM=∠B−∠MBC=124∘−β, ∠DCM=∠C−∠MCB=116∘−β.В равнобедренном △MAB (MA=MB) углы при основании равны: ∠MAB=∠MBA=124∘−β, поэтому
∠AMB=180∘−2(124∘−β)=2β−68∘.Аналогично в △MCD (MC=MD):
∠CMD=180∘−2(116∘−β)=2β−52∘.В △MBC (MB=MC):
∠BMC=180∘−2β.Прямой угол при M. Точки A, M, D лежат на одной прямой, а лучи MB и MC идут в одну полуплоскость (четырёхугольник выпуклый), поэтому три угла при вершине M в сумме дают развёрнутый угол:
∠AMB+∠BMC+∠CMD=180∘. (2β−68∘)+(180∘−2β)+(2β−52∘)=180∘. 2β+60∘=180∘⇒β=60∘.Находим R. Тогда ∠BMC=180∘−2⋅60∘=60∘. В равнобедренном △MBC с MB=MC=R и углом при вершине 60∘ все углы равны 60∘, значит он равносторонний и BC=R.
По условию BC=6, поэтому R=6, и
AD=2R=12.Ответ: AD=12.