Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=10, DC=25, AC=56.

Задача №20358: Геометрические задачи на вычисление

Точка $M$ — точка пересечения отрезков $A C$ и $B D,$ поэтому она лежит на отрезке $A C,$ и $A M + M C = A C = 56 .$

Рассмотрим треугольники $A B M$ и $C D M .$ Так как прямые $A B$ и $D C$ параллельны, а $A C$ и $B D$ — секущие, то:

$∠ B A M = ∠ D C M$ (накрест лежащие углы при параллельных $A B ∥ D C$ и секущей $A C$ );
$∠ A B M = ∠ C D M$ (накрест лежащие углы при секущей $B D$ ).

По двум углам $△ A B M \sim △ C D M .$ Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон $A B$ и $D C :$

k = \frac{A B}{D C} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} .

Соответственные стороны $A M$ и $C M$ относятся так же:

\frac{A M}{C M} = \frac{2}{5} .

Значит, $A C = A M + M C$ делится точкой $M$ в отношении $2 : 5,$ всего $2 + 5 = 7$ частей. Тогда

M C = \frac{5}{7} \cdot A C = \frac{5}{7} \cdot 56 = 40.

Ответ: $40 .$