Задача №20357

Углы при одном из оснований трапеции равны $50^{\circ }$ и $40^{\circ }\text{,}$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13. Найдите основания трапеции.

Пусть в трапеции $ABCD$ основания $BC=b$ и $AD=a$ ($a>b$), а углы при основании $AD$ равны $\angle A=50^{\circ }$ и $\angle D=40^{\circ }\text{.}$ У трапеции есть две пары противоположных сторон, поэтому даны два отрезка, соединяющие середины противоположных сторон:

1) Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — это средняя линия трапеции:

2) Отрезок $MN\text{,}$ соединяющий середины оснований ($M$ — середина $BC\text{,}$ $N$ — середина $AD$).

Ключевое наблюдение. Сумма углов при основании $AD$ равна $50^{\circ }+40^{\circ }=90^{\circ }\text{.}$ Продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P\text{.}$ В треугольнике $APD$ угол $\angle APD=180^{\circ }-50^{\circ }-40^{\circ }=90^{\circ }\text{,}$ то есть треугольник прямоугольный с гипотенузой $AD\text{.}$ Медиана из вершины прямого угла к гипотенузе равна её половине, поэтому

Треугольник $PBC$ также прямоугольный при вершине $P$ (тот же угол), $BC\parallel AD\text{,}$ и он подобен треугольнику $APD$ с центром подобия $P\text{.}$ Значит, медиана $PM$ к гипотенузе $BC$ лежит на той же прямой $PN$ и

Точки $P,M,N$ лежат на одной прямой, поэтому

Составим систему. Так как $\frac{a+b}{2}>\frac{a-b}{2}\text{,}$ большему числу $15$ соответствует средняя линия, меньшему $13$ — отрезок между серединами оснований:

Отсюда $a+b=30$ и $a-b=26\text{.}$ Складывая и вычитая:

Проверка. $\frac{28+2}{2}=15$ и $\frac{28-2}{2}=13$ — совпадает с условием.

Ответ: основания трапеции равны $2$ и $28\text{.}$