Задача №20353

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC\text{,}$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN\text{,}$ если $MN=16\text{,}$ $AC=20\text{,}$ $NC=15\text{.}$

Прямая $MN$ параллельна стороне $AC\text{,}$ поэтому треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны: угол $B$ у них общий, а $\angle BMN=\angle BAC$ и $\angle BNM=\angle BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущих $AB\text{,}$ $BC\text{.}$

Из подобия следует пропорциональность сходственных сторон:

Обозначим $BN=x\text{.}$ Тогда $BC=BN+NC=x+15\text{,}$ и

Отсюда $5x=4(x+15)\text{,}$ то есть $5x=4x+60\text{,}$ значит $x=60\text{.}$

Ответ: $BN=60\text{.}$