Задача №20349

Решите неравенство $(x-1{)}^2<\sqrt{2}(x-1)\text{.}$

Перенесём всё в левую часть:

Вынесем общий множитель $(x-1)\text{:}$

то есть

Левая часть — произведение двух множителей с корнями $x_1=1$ и $x_2=1+\sqrt{2}$ (причём $x_1<x_2$). Парабола $y=(x-1)(x-1-\sqrt{2})$ ветвями вверх, поэтому она отрицательна между корнями. По методу интервалов произведение отрицательно при

Проверка. При $x=2$ (лежит внутри промежутка): $(2-1{)}^2=1\text{,}$ а $\sqrt{2}(2-1)=\sqrt{2}\approx 1,41\text{,}$ и $1<1,41$ — верно.

Ответ: $\left(1;1+\sqrt{2}\right)\text{.}$