Задача №19079

Решите неравенство $\frac{3x^2-18x+27}{x+7}\le 0.$

Разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель и свернём полный квадрат:

Неравенство принимает вид

Множитель $3(x-3{)}^2\ge 0$ при всех $x$ и обращается в нуль только при $x=3\text{.}$ Поэтому знак дроби определяется знаком знаменателя $x+7$ (при $x\ne 3$), а точка $x=-7$ исключается из области определения.

Рассмотрим случаи, когда дробь $\le 0\text{:}$

1. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель нет. Это даёт $x=3$ (при этом $x+7=10\ne 0$) — точка входит в ответ.
2. Дробь строго меньше нуля, если числитель положителен, а знаменатель отрицателен. Числитель $3(x-3{)}^2>0$ при $x\ne 3\text{,}$ а $x+7<0$ при $x<-7\text{.}$ Значит, весь промежуток $x<-7$ входит в ответ.

При $-7<x\text{,}$ $x\ne 3$ и числитель, и знаменатель положительны, дробь положительна — не подходит.

Ответ: $x<-7$ или $x=3\text{,}$ то есть $x\in (-\infty ;-7)\cup \{3\}\text{.}$