Задача №20344

Решите неравенство

$$\frac{3x^2-24x+48}{x+8}\le 0.$$

Разложим числитель на множители: $3x^2-24x+48=3\left(x^2-8x+16\right)=3(x-4{)}^2\text{.}$

Неравенство принимает вид

$$\frac{3(x-4{)}^2}{x+8}\le 0.$$

Область определения: $x+8\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne -8\text{.}$

Множитель $3(x-4{)}^2\ge 0$ при всех $x\text{,}$ причём он равен нулю только при $x=4\text{.}$ Знак всей дроби (при $x\ne 4$) совпадает со знаком знаменателя $x+8\text{.}$

Рассмотрим случаи:

• при $x=4$ числитель равен $0\text{,}$ дробь равна $0$ — неравенство $\le 0$ выполнено;
• при $x\ne 4$ имеем $3(x-4{)}^2>0\text{,}$ поэтому дробь $\le 0$ только если $x+8<0\text{,}$ то есть $x<-8\text{.}$

Объединяя, получаем $x<-8$ или $x=4\text{.}$

Ответ: $\left(-\infty ;-8\right)\cup \{4\}\text{.}$