Задача №20341

Постройте график функции

$y=x|x|+|x|-6x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модуль. Функция задаётся двумя формулами в зависимости от знака $x\text{.}$

При $x\ge 0\text{:}$ $|x|=x\text{,}$ поэтому

$$y=x\cdot x+x-6x=x^2-5x.$$

Это часть параболы ветвями вверх с вершиной в точке $\left(\frac{5}{2};-\frac{25}{4}\right)\text{,}$ то есть $(2,5;-6,25)\text{.}$ В точке $x=0$ значение $y=0\text{;}$ парабола пересекает ось $Ox$ при $x=0$ и $x=5\text{.}$

При $x<0\text{:}$ $|x|=-x\text{,}$ поэтому

$$y=x\cdot (-x)-x-6x=-x^2-7x.$$

Это часть параболы ветвями вниз с вершиной в точке $\left(-\frac{7}{2};\frac{49}{4}\right)\text{,}$ то есть $(-3,5;12,25)\text{.}$ При $x\to 0^{-}$ значение стремится к $0$ (точка $(0;0)$ принадлежит правой ветви).

Итак, график — две «склеенные» в точке $(0;0)$ полупараболы: слева максимум $12,25$ при $x=-3,5\text{,}$ справа минимум $-6,25$ при $x=2,5\text{.}$

Подсчёт общих точек прямой $y=m$ с графиком.

Левая ветвь ($x<0\text{,}$ ветви вниз, вершина $12,25$):

• при $m>12,25$ — 0 точек;
• при $m=12,25$ — 1 точка (вершина);
• при $0<m<12,25$ — 2 точки;
• при $m\le 0$ — 1 точка (вторая абсцисса становится неотрицательной и уходит на правую ветвь).

Правая ветвь ($x\ge 0\text{,}$ ветви вверх, вершина $-6,25$):

• при $m<-6,25$ — 0 точек;
• при $m=-6,25$ — 1 точка (вершина);
• при $-6,25<m\le 0$ — 2 точки;
• при $m>0$ — 1 точка.

Сложим количества по диапазонам:

• $m>12,25\text{:}$ $0+1=1\text{;}$
• $m=12,25\text{:}$ $1+1=2\text{;}$
• $0<m<12,25\text{:}$ $2+1=3\text{;}$
• $-6,25<m\le 0\text{:}$ $1+2=3\text{;}$
• $m=-6,25\text{:}$ $1+1=2\text{;}$
• $m<-6,25\text{:}$ $1+0=1\text{.}$

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет только при $m=-6,25$ и при $m=12,25\text{.}$

Ответ: $m=-6,25$ или $m=12,25\text{.}$