Задача №20336

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 33 и 11, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD\text{,}$ если $AB=20\text{.}$

Шаг 1. Продолжим боковые стороны до пересечения.

В трапеции $ABCD$ основания $AD\parallel BC\text{,}$ а боковые стороны — $AB$ и $CD\text{.}$ Продлим прямые $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $P\text{.}$ В треугольнике $APD$ углы при вершинах $A$ и $D$ — это как раз углы трапеции при основании $AD\text{,}$ их сумма равна $90^{\circ }\text{.}$ Значит,

то есть прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $P$ под прямым углом.

Шаг 2. Найдём расстояния от $P$ до $A$ и $B\text{.}$

Так как $BC\parallel AD\text{,}$ треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD$ с коэффициентом

Отсюда $PB=\frac{1}{3}PA\text{,}$ то есть $PA=3PB\text{.}$ Точка $B$ лежит между $P$ и $A\text{,}$ поэтому

Шаг 3. Касание и степень точки $P\text{.}$

Пусть окружность проходит через $A$ и $B$ и касается прямой $CD$ в точке $T\text{.}$ Прямая $PA$ (она же $AB$) — секущая окружности через точки $B$ и $A\text{,}$ а $PT$ — отрезок касательной из той же точки $P\text{.}$ По теореме о касательной и секущей (степень точки):

Шаг 4. Свяжем радиус с найденными величинами.

Пусть $O$ — центр окружности, $M$ — середина хорды $AB\text{.}$ Тогда $OM\perp AB\text{.}$ Радиус в точке касания перпендикулярен касательной: $OT\perp CD\text{.}$ Поскольку $AB\perp CD$ (в точке $P$), получаем $OT\parallel AB$ и $OM\parallel CD\text{.}$ Значит, четырёхугольник $PMOT$ — прямоугольник, и

Но $M$ — середина $AB\text{,}$ поэтому $BM=\frac{1}{2}AB=10\text{,}$ и

Следовательно, $R=20\text{.}$

Проверка. В прямоугольнике $PMOT$ вторая сторона $OM=PT=10\sqrt{3}\text{,}$ тогда $OA=\sqrt{O{M}^2+M{A}^2}=\sqrt{300+100}=20=R$ — окружность действительно проходит через $A$ (и по симметрии через $B$).

Ответ: $R=20\text{.}$