Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Обозначим центры окружностей O_1 (радиус r_1=45) и O_2 (радиус r_2=90). Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами равно сумме радиусов: O_1O_2 = r_1 + r_2 = 45 + 90 = 135. Прямые AC и BD — общие внешние касательные, симметричные относительно линии центров O_1O_2. Точки A,B — точки касания на малой окружности, C,D — на большой. Угол наклона касательной. Опустим из центров перпендикуляры на касательную AC: O_1A = r_1 и O_2C = r_2, оба перпендикулярны AC, значит O_1A O_2C. Проведём через O_1 прямую, параллельную AC, до пересечения с O_2C в точке H. Тогда O_1H AC, CH = O_1A = r_1, поэтому в прямоугольном треугольнике O_1HO_2 (прямой угол при H) катет O_2H = O_2C - CH = r_2 - r_1 = 90 - 45 = 45, а гипотенуза O_1O_2 = 135. Значит угол alpha между касательной и линией центров удовлетворяет = (O_2H)/(O_1O_2) = (r_2 - r_1)/(O_1O_2) = (45)/(135) = 13. Положение хорд AB и CD. В силу симметрии картины относительно линии центров хорда AB (соединяющая точки касания на малой окружности) перпендикулярна O_1O_2, и так же CD O_1O_2. Следовательно AB CD, и искомое расстояние — это расстояние между этими параллельными прямыми, измеренное вдоль O_1O_2. Найдём, на каком расстоянии от своего центра стоит каждая хорда. Радиус O_1A образует с линией центров такой же угол, и проекция O_1A на направление O_1O_2 равна r_1. Значит середина хорды AB отстоит от O_1 на d_1 = r_1 = 45*13 = 15, причём в сторону, противоположную O_2 (касательные сходятся за малой окружностью). Аналогично середина CD отстоит от O_2 на d_2 = r_2 = 90*13 = 30 в ту же сторону (к O_1). Расстояние между прямыми. Отсчитывая вдоль O_1O_2 от O_1: прямая AB находится на расстоянии 15 за O_1, а прямая CD — на расстоянии O_1O_2 - d_2 = 135 - 30 = 105 от O_1. Тогда (AB, CD) = 105 - (-15) = O_1O_2 + d_1 - d_2 = 135 + 15 - 30 = 120. Ответ: 120.
120