Задача №19000

Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD\text{.}$

Обозначим центры окружностей $O_1$ (радиус $r_1=45$) и $O_2$ (радиус $r_2=90$). Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами равно сумме радиусов:

Прямые $AC$ и $BD$ — общие внешние касательные, симметричные относительно линии центров $O_1{O}_2\text{.}$ Точки $A,B$ — точки касания на малой окружности, $C,D$ — на большой.

Угол наклона касательной. Опустим из центров перпендикуляры на касательную $AC\text{:}$ $O_{1}A=r_1$ и $O_{2}C=r_2\text{,}$ оба перпендикулярны $AC\text{,}$ значит $O_{1}A\parallel O_{2}C\text{.}$ Проведём через $O_1$ прямую, параллельную $AC\text{,}$ до пересечения с $O_{2}C$ в точке $H\text{.}$ Тогда $O_{1}H\parallel AC\text{,}$ $CH=O_{1}A=r_1\text{,}$ поэтому в прямоугольном треугольнике $O_{1}H{O}_2$ (прямой угол при $H$) катет

а гипотенуза $O_1{O}_2=135\text{.}$ Значит угол $\alpha$ между касательной и линией центров удовлетворяет

Положение хорд $AB$ и $CD\text{.}$ В силу симметрии картины относительно линии центров хорда $AB$ (соединяющая точки касания на малой окружности) перпендикулярна $O_1{O}_2\text{,}$ и так же $CD\perp O_1{O}_2\text{.}$ Следовательно $AB\parallel CD\text{,}$ и искомое расстояние — это расстояние между этими параллельными прямыми, измеренное вдоль $O_1{O}_2\text{.}$

Найдём, на каком расстоянии от своего центра стоит каждая хорда. Радиус $O_{1}A$ образует с линией центров такой же угол, и проекция $O_{1}A$ на направление $O_1{O}_2$ равна $r_1\sin \alpha \text{.}$ Значит середина хорды $AB$ отстоит от $O_1$ на

причём в сторону, противоположную $O_2$ (касательные сходятся за малой окружностью). Аналогично середина $CD$ отстоит от $O_2$ на

в ту же сторону (к $O_1$).

Расстояние между прямыми. Отсчитывая вдоль $O_1{O}_2$ от $O_1\text{:}$ прямая $AB$ находится на расстоянии $15$ за $O_1\text{,}$ а прямая $CD$ — на расстоянии $O_1{O}_2-d_2=135-30=105$ от $O_1\text{.}$ Тогда

Ответ: $120\text{.}$