Задача №20331

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD\text{,}$ если $AB=24\text{.}$

Ход решения. В трапеции $ABCD$ основания $AD\parallel BC\text{,}$ боковые стороны — $AB$ и $CD\text{.}$ Продлим прямые $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P$ (они сходятся со стороны меньшего основания $BC$).

1. Угол при вершине $P\text{.}$ Луч $AP$ совпадает с лучом $AB\text{,}$ поэтому $\angle PAD=\angle BAD\text{;}$ аналогично $\angle PDA=\angle CDA\text{.}$ В треугольнике $APD\text{:}$

Значит, прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

2. Подобие и длины отрезков. Так как $BC\parallel AD\text{,}$ треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD$ с коэффициентом

Поэтому $PB=\frac{1}{17}PA\text{.}$ Из $AB=PA-PB=PA\left(1-\frac{1}{17}\right)=\frac{16}{17}PA=24$ находим

3. Радиус. Введём прямоугольную систему с началом в $P\text{:}$ ось $Px$ вдоль прямой $AB\text{,}$ ось $Py$ вдоль прямой $CD$ (оси перпендикулярны по пункту 1). Тогда $A=(25,5;0)\text{,}$ $B=(1,5;0)\text{,}$ а прямая $CD$ — это ось $Py\text{.}$

Центр $O$ искомой окружности равноудалён от $A$ и $B\text{,}$ значит его абсцисса равна абсциссе середины $AB\text{:}$

Окружность касается прямой $CD$ (оси $Py$), поэтому расстояние от центра до этой прямой равно радиусу: $R=x_O=13,5\text{.}$

Проверка. $R^2=13,5^2=182,25\text{,}$ а расстояние до $A\text{:}$ $(13,5-25,5{)}^2+y_O^2=144+y_O^2\text{,}$ откуда $y_O^2=38,25=PA\cdot PB$ — согласуется со степенью точки $P$ (касательная${}^2=PA\cdot PB$).

Ответ: $13,5\text{.}$