Задача №20328

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD\text{,}$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF\text{,}$ если $AD=36\text{,}$ $BC=18\text{,}$ $CF:DF=7:2\text{.}$

Пусть в трапеции $ABCD$ основания $BC=18$ и $AD=36\text{,}$ а $E\in AB\text{,}$ $F\in CD\text{,}$ причём $EF\parallel BC\parallel AD\text{.}$

Построение. Через вершину $B$ проведём прямую, параллельную боковой стороне $CD\text{.}$ Она пересечёт отрезок $EF$ в точке $L$ и основание $AD$ в точке $K\text{.}$

Параллелограммы.

• В четырёхугольнике $BCDK\text{:}$ $BC\parallel KD$ (обе — части оснований) и $BK\parallel CD$ по построению, значит $BCDK$ — параллелограмм. Отсюда $KD=BC=18$ и $BK=CD\text{.}$
• В четырёхугольнике $BLFC\text{:}$ $BC\parallel LF$ и $BL\parallel CF\text{,}$ значит это тоже параллелограмм, откуда $LF=BC=18$ и $BL=CF\text{.}$

Подобие. В треугольнике $ABK$ точки $E$ и $L$ лежат на сторонах $AB$ и $BK\text{,}$ а $EL\parallel AK$ (так как $EL$ — часть прямой $EF\parallel AD$). Значит треугольник $BEL$ подобен треугольнику $BAK\text{,}$ и

Вычислим отношение и длины:

• $AK=AD-KD=36-18=18\text{;}$
• $\frac{BL}{BK}=\frac{CF}{CD}=\frac{CF}{CF+DF}=\frac{7}{7+2}=\frac{7}{9}\text{.}$

Тогда

Окончательно

Проверка. Длина отрезка, параллельного основаниям, меняется линейно от $BC=18$ (у верхнего основания) до $AD=36$ (у нижнего). Точка $F$ отстоит от $C$ на долю $\frac{CF}{CD}=\frac{7}{9}$ пути к $D\text{,}$ поэтому $EF=18+\frac{7}{9}(36-18)=18+14=32$ — совпадает.

Ответ: $EF=32\text{.}$