Задача №20327

Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 6 и 10, а основание $BC$ равно 1. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB\text{.}$ Найдите площадь трапеции.

В трапеции $ABCD$ основания $BC\parallel AD\text{,}$ боковые стороны $AB=6$ и $CD=10\text{,}$ меньшее основание $BC=1\text{.}$ Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB\text{,}$ через неё проходит биссектриса угла $ADC\text{.}$

Шаг 1. Продолжим биссектрису $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $P\text{.}$

Рассмотрим треугольники $ADM$ и $BPM\text{.}$ У них:

• $AM=MB$ ($M$ — середина $AB$);
• $\angle AMD=\angle BMP$ (вертикальные углы);
• $\angle DAM=\angle PBM$ (накрест лежащие при $AD\parallel BP$ и секущей $AB$).

Значит, $△ADM=△BPM$ по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда $BP=AD\text{,}$ а точки расположены так, что $P,B,C$ лежат на одной прямой в этом порядке.

Шаг 2. Треугольник $DPC$ равнобедренный.

Так как $AD\parallel PC\text{,}$ то $\angle ADP=\angle DPC$ (накрест лежащие). А поскольку $DP$ — биссектриса угла $ADC\text{,}$ то $\angle ADP=\angle PDC\text{.}$ Следовательно, $\angle DPC=\angle PDC\text{,}$ и треугольник $DPC$ равнобедренный: $PC=DC=10\text{.}$

Шаг 3. Находим большее основание.

Шаг 4. Высота трапеции.

Опустим из вершин $B$ и $C$ высоты на основание $AD\text{.}$ Сумма горизонтальных проекций боковых сторон равна разности оснований: $AD-BC=9-1=8\text{.}$ Пусть проекция $AB$ равна $p\text{,}$ проекция $CD$ равна $q\text{;}$ тогда

Из второго уравнения $q^2-p^2=64\text{,}$ то есть $(q-p)(q+p)=64\text{,}$ откуда $q-p=8\text{.}$ Вместе с $q+p=8$ получаем $q=8,p=0\text{.}$

Значит, боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям и высота трапеции равна $h=AB=6$ (проверка: $CD=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$).

Шаг 5. Площадь.

Ответ: $30\text{.}$