Задача №20326

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{.}$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK=11\text{,}$ $CK=20\text{.}$

Пусть биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{.}$

Шаг 1. Равные углы. Биссектриса делит угол $A$ пополам, поэтому $\angle DAK=\angle BAK\text{.}$

В параллелограмме $AD\parallel BC\text{,}$ а $AK$ — секущая, значит $\angle DAK=\angle AKB$ как накрест лежащие углы.

Отсюда $\angle BAK=\angle AKB\text{.}$

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. В треугольнике $ABK$ углы при вершинах $A$ и $K$ равны, поэтому он равнобедренный, и стороны против этих углов равны: $AB=BK=11\text{.}$

Шаг 3. Стороны и периметр. Сторона $BC=BK+CK=11+20=31\text{.}$ В параллелограмме противоположные стороны равны: $AD=BC=31\text{,}$ а $CD=AB=11\text{.}$

Периметр:

Ответ: $84\text{.}$