Задача №19938

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 20. Найдите стороны треугольника $ABC\text{.}$

Пусть $P$ — точка пересечения медианы $AD$ и биссектрисы $BE\text{.}$

Шаг 1. Треугольник $ABD$ равнобедренный.
Точка $D$ лежит на стороне $BC\text{,}$ поэтому луч $BD$ совпадает с лучом $BC\text{,}$ и биссектриса $BE$ угла $ABC$ является биссектрисой угла $ABD$ в треугольнике $ABD\text{.}$ По условию эта биссектриса перпендикулярна стороне $AD\text{.}$ Если биссектриса треугольника, выходящая из вершины, перпендикулярна противоположной стороне, то она одновременно является и медианой, и высотой, а сам треугольник — равнобедренный. Значит,

Шаг 2. Сторона $BC\text{.}$
$D$ — середина $BC\text{,}$ поэтому $BD=\frac{1}{2}BC\text{.}$ Из $AB=BD$ получаем

Шаг 3. Длина отрезка $BP\text{.}$
По свойству биссектрисы в треугольнике $ABC\text{:}$

значит $AC=3AE\text{,}$ то есть $AE=\frac{1}{3}AC\text{.}$

Проведём через середину $D$ стороны $BC$ прямую, параллельную $BE\text{;}$ в треугольнике $BEC$ она проходит через середину $M$ стороны $EC$ и является средней линией, поэтому $DM\parallel BE$ и $DM=\frac{1}{2}BE\text{.}$ Так как $M$ — середина $EC\text{,}$ то $EM=\frac{1}{2}EC=AE\text{,}$ откуда $AM=AE+EM=2AE\text{.}$

В треугольнике $ADM$ отрезок $PE\parallel DM\text{,}$ поэтому по теореме о пропорциональных отрезках

Следовательно,

Шаг 4. Стороны $AB$ и $BC\text{.}$
В прямоугольном треугольнике $APB$ ($\angle APB=90^{\circ }$):

Шаг 5. Сторона $AC\text{.}$
По формуле длины медианы $AD$ треугольника $ABC$ (к стороне $BC$):

Подставляя $AD=20\text{,}$ $A{B}^2=325\text{,}$ $B{C}^2=1300\text{:}$

Проверка. $BD=\sqrt{A{P}^2+B{P}^2}=\sqrt{325}=AB$ — верно; $AD=20$ и $BE=BP+PE=15+5=20$ — совпадают с условием.

Ответ: $AB=5\sqrt{13}\text{,}$ $BC=10\sqrt{13}\text{,}$ $AC=15\sqrt{5}\text{.}$