Задача №20322

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC\text{.}$ Во сколько раз отрезок $AM$ длиннее отрезка $CM\text{?}$

Точка $M$ лежит на стороне $AC\text{,}$ поэтому отрезки $AM$ и $CM$ — части одного прямого отрезка $AC\text{,}$ и их отношение равно отношению их проекций на линии сетки.

Сторона $AC$ идёт из вершины $A$ вправо на $5$ клеток и вниз на $1$ клетку. Точка $M$ отмечена на этой стороне там, где вертикальная линия сетки отсекает от $A$ ровно $4$ клетки по горизонтали (значит, до $C$ остаётся $1$ клетка).

Опустим из $M$ и из $C$ перпендикуляры на горизонтальную линию, проходящую через $A\text{.}$ Полученные прямоугольные треугольники подобны (у них общий острый угол при $A$ и по прямому углу), поэтому длины наклонных отрезков относятся так же, как их горизонтальные катеты:

$$\frac{AM}{CM}=\frac{4}{1}=4.$$

Проверка по клеткам: $AM$ стягивает прямоугольный треугольник с катетами $4$ и $0,8\text{,}$ а $CM$ — с катетами $1$ и $0,2\text{;}$ их гипотенузы относятся как $4:1\text{.}$

Ответ: $4\text{.}$