Задача №20321

Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 10 и 26, а основание $BC$ равно 1. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB\text{.}$ Найдите площадь трапеции.

В трапеции $ABCD$ основаниями являются $BC$ и $AD$ ($BC\parallel AD$), боковые стороны $AB=10\text{,}$ $CD=26\text{,}$ $BC=1\text{.}$ Пусть $M$ — середина стороны $AB\text{,}$ а биссектриса угла $ADC$ проходит через $M\text{.}$

Шаг 1. Вспомогательная точка. Продолжим биссектрису $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K$ (за точку $B$).

Рассмотрим треугольники $AMD$ и $BMK\text{:}$

• $AM=MB$ ($M$ — середина $AB$);
• $\angle AMD=\angle BMK$ (вертикальные);
• $\angle MAD=\angle MBK$ (накрест лежащие при $AD\parallel BK$).

Значит, $△AMD=△BMK$ (по стороне и двум углам). Отсюда $BK=AD$ и $\angle BKM=\angle ADM\text{.}$

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. Так как $DK$ — биссектриса, то $\angle CDK=\angle ADM\text{.}$ С учётом $\angle BKM=\angle ADM$ получаем $\angle CKD=\angle CDK\text{,}$ поэтому треугольник $CDK$ равнобедренный: $CK=CD=26\text{.}$

Точки идут в порядке $K,B,C$ на одной прямой, поэтому

Следовательно, $1+AD=26\text{,}$ откуда $AD=25\text{.}$

Шаг 3. Высота трапеции. Основания $AD=25$ и $BC=1\text{,}$ разность оснований $25-1=24\text{.}$ Пусть $p$ и $q$ — горизонтальные проекции боковых сторон $AB$ и $CD\text{;}$ тогда $p+q=24$ и высота $h$ удовлетворяет

Так как $q+p=24\text{,}$ то $q-p=24\text{,}$ значит $p=0\text{,}$ $q=24\text{.}$ Отсюда сторона $AB$ перпендикулярна основаниям и $h=AB=10$ (проверка: $\sqrt{26^2-24^2}=\sqrt{100}=10$).

Шаг 4. Площадь.

Ответ: $130\text{.}$