Задача №20319

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD\text{,}$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30^{\circ }$ и $135^{\circ }\text{,}$ а $CD=29\text{.}$

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны.

Шаг 1. Найдём углы при боковых сторонах.
При секущей $CD$ сумма односторонних углов при параллельных прямых $BC$ и $AD$ равна $180^{\circ }\text{:}$

Аналогично при секущей $AB\text{:}$

Шаг 2. Выразим высоту трапеции двумя способами.
Пусть $h$ — высота (расстояние между основаниями). Опустив перпендикуляры из вершин $B$ и $C$ на прямую $AD\text{,}$ получаем прямоугольные треугольники, в которых боковая сторона — гипотенуза, а высота — противолежащий острому углу катет.

Через сторону $CD$ (угол с основанием равен $45^{\circ }$):

Через сторону $AB$ (острый угол между $AB$ и прямой $AD$ равен $180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }\text{,}$ поэтому $\sin \angle BAD=\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$):

Шаг 3. Приравняем и найдём $AB\text{.}$

Ответ: $AB=29\sqrt{2}\text{.}$