Задача №20318

Точка $H$ является основанием высоты $BH\text{,}$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC\text{.}$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH\text{,}$ если $PK=11\text{.}$

Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH\text{.}$ Угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому

Значит, $HP\perp AB$ и $HK\perp CB\text{.}$

Рассмотрим четырёхугольник $BPHK\text{.}$ В нём три прямых угла:

• $\angle PBK=\angle ABC=90^{\circ }$ (прямой угол исходного треугольника),
• $\angle BPH=90^{\circ }\text{,}$
• $\angle BKH=90^{\circ }\text{.}$

Четырёхугольник с тремя прямыми углами является прямоугольником (четвёртый угол тоже равен $90^{\circ }$). Следовательно, $BPHK$ — прямоугольник.

В прямоугольнике диагонали равны. Диагоналями $BPHK$ служат отрезки $BH$ и $PK\text{,}$ поэтому

Ответ: $BH=11\text{.}$