Задача №20313

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если $AH=3\text{,}$ $AC=27\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $B$ проведена высота $BH$ к гипотенузе $AC\text{.}$ Точка $H$ делит гипотенузу на отрезки $AH=3$ и $HC=AC-AH=27-3=24\text{.}$

Свойство высоты, проведённой из прямого угла. Высота $BH$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника, подобных исходному. В частности, $△ABH\sim △ACB$ (общий острый угол $A$ и по прямому углу). Из подобия:

То есть катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и прилежащей к нему проекцией:

Проверка. Тогда $B{C}^2=HC\cdot AC=24\cdot 27=648\text{,}$ и $A{B}^2+B{C}^2=81+648=729=27^2=A{C}^2$ — соотношение Пифагора выполнено.

Ответ: $AB=9\text{.}$