Задача №20303

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M\text{,}$ $AD=9\text{,}$ $MD=3\text{,}$
$H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC\text{.}$ Найдите $AH\text{.}$

Дано: остроугольный треугольник $ABC\text{,}$ $AD$ — высота ($D\in BC$). На $BC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая $AD$ в точке $M\text{;}$ $AD=9\text{,}$ $MD=3\text{.}$ $H$ — ортоцентр. Найти $AH\text{.}$

Шаг 1. Свойство точки $M\text{.}$
Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC\text{,}$ значит вписанный угол $\angle BMC=90^{\circ }$ (опирается на диаметр). В прямоугольном треугольнике $BMC$ отрезок $MD$ — высота, опущенная на гипотенузу $BC$ (так как $AD\perp BC\text{,}$ то и $MD\perp BC$). По свойству высоты прямоугольного треугольника:

Отсюда $BD\cdot DC=3^2=9\text{.}$

Шаг 2. Ортоцентр на высоте.
Ортоцентр $H$ лежит на высоте $AD\text{.}$ Рассмотрим прямоугольные треугольники $BDH$ и $ADC\text{:}$

• $\angle BDH=\angle ADC=90^{\circ }$ (обе — при основании $BC\text{,}$ ведь $HD$ лежит на $AD\perp BC$);
• высота из $B$ перпендикулярна $AC\text{,}$ поэтому $\angle DBH=90^{\circ }-\angle C\text{;}$ в прямоугольном треугольнике $ADC$ угол $\angle DAC=90^{\circ }-\angle C\text{.}$ Значит $\angle DBH=\angle DAC\text{.}$

Следовательно, $△BDH\sim △ADC\text{,}$ откуда

Шаг 3. Вычисление.
Подставляя $AD=9$ и $BD\cdot DC=9\text{:}$

Точка $H$ лежит между $A$ и $D$ (треугольник остроугольный, ортоцентр внутри), поэтому

Проверка. Порядок точек на высоте от $A\text{:}$ $A\text{,}$ затем $M$ ($AM=AD-MD=6$), затем $H$ ($AH=8\text{,}$ $DH=1$), затем $D$ — согласовано с $BD\cdot DC=M{D}^2=AD\cdot DH=9\text{.}$

Ответ: $AH=8\text{.}$