Задача №20301

Решите уравнение ${\left(x^2-16\right)}^2+{\left(x^2+x-12\right)}^2=0\text{.}$

Сумма квадратов двух действительных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю одновременно:

Первое уравнение: $x^2=16\text{,}$ откуда $x=4$ или $x=-4\text{.}$

Второе уравнение: $x^2+x-12=0\text{.}$ По теореме Виета (или через дискриминант $D=1+48=49$) корни $x=3$ и $x=-4\text{,}$ так как $x^2+x-12=(x-3)(x+4)\text{.}$

Обоим уравнениям удовлетворяет только общее значение $x=-4\text{.}$

Проверка. При $x=-4\text{:}$ $x^2-16=16-16=0$ и $x^2+x-12=16-4-12=0\text{,}$ значит $0^2+0^2=0$ — верно.

Ответ: $-4\text{.}$