Задача №20300

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C\text{.}$ Найдите длину отрезка $KP\text{,}$ если $AK=7\text{,}$ а сторона $AC$ в 1,4 раза больше стороны $BC\text{.}$

Точки $B\text{,}$ $K\text{,}$ $P\text{,}$ $C$ лежат на одной окружности, значит $BKPC$ — вписанный четырёхугольник. У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^{\circ }\text{:}$

Угол $AKP$ смежный с углом $BKP$ (точки $A\text{,}$ $K\text{,}$ $B$ лежат на прямой $AB$), поэтому

Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB\text{:}$ угол $A$ у них общий, а $\angle AKP=\angle ACB\text{.}$ Значит, по двум углам

Из подобия следует пропорциональность соответственных сторон:

По условию $AK=7$ и $AC=1,4\cdot BC\text{.}$ Подставляем:

Ответ: $5\text{.}$