Решите систему уравнений cases2x^(2)+3y^(2)=21, 6x^(2)+9y^(2)=21x.cases

Задача №20292: Уравнения, неравенства и их системы

Дана система

{2 x^{2} + 3 y^{2} = 21, 6 x^{2} + 9 y^{2} = 21 x .

Шаг 1. Заметим, что левая часть второго уравнения кратна левой части первого:

6 x^{2} + 9 y^{2} = 3 (2 x^{2} + 3 y^{2}) .

По первому уравнению $2 x^{2} + 3 y^{2} = 21,$ поэтому

6 x^{2} + 9 y^{2} = 3 \cdot 21 = 63.

Шаг 2. Тогда второе уравнение принимает вид

63 = 21 x \Rightarrow x = 3.

Шаг 3. Подставим $x = 3$ в первое уравнение:

2 \cdot 3^{2} + 3 y^{2} = 21 \Rightarrow 18 + 3 y^{2} = 21 \Rightarrow 3 y^{2} = 3 \Rightarrow y^{2} = 1,

откуда $y = 1$ или $y = - 1 .$

Проверка. При $(3; 1) :$ $2 \cdot 9 + 3 \cdot 1 = 21$ и $6 \cdot 9 + 9 \cdot 1 = 63 = 21 \cdot 3$ — верно. При $(3; - 1)$ аналогично.

Ответ: $(3; 1), (3; - 1) .$