Решите систему уравнений cases3x^(2)+2y^(2)=45, 9x^(2)+6y^(2)=45x.cases

Задача №20097: Уравнения, неравенства и их системы

Запишем систему:

{3 x^{2} + 2 y^{2} = 45, 9 x^{2} + 6 y^{2} = 45 x .

Заметим, что левая часть второго уравнения кратна левой части первого:

9 x^{2} + 6 y^{2} = 3 (3 x^{2} + 2 y^{2}) .

Из первого уравнения $3 x^{2} + 2 y^{2} = 45,$ поэтому

9 x^{2} + 6 y^{2} = 3 \cdot 45 = 135.

Подставим это во второе уравнение:

135 = 45 x \Rightarrow x = 3.

Теперь подставим $x = 3$ в первое уравнение:

3 \cdot 3^{2} + 2 y^{2} = 45 \Rightarrow 27 + 2 y^{2} = 45 \Rightarrow 2 y^{2} = 18 \Rightarrow y^{2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3.

Проверка второго уравнения при $x = 3, y = \pm 3 :$ $9 \cdot 9 + 6 \cdot 9 = 81 + 54 = 135 = 45 \cdot 3$ — верно.

Ответ: $(3; 3)$ и $(3; - 3) .$