Задача №20291

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C\text{.}$ Найдите длину отрезка $KP\text{,}$ если $AP=36\text{,}$ а сторона $BC$ в 1,8 раза меньше стороны $AB\text{.}$

Точки $B\text{,}$ $C\text{,}$ $P\text{,}$ $K$ лежат на одной окружности, значит $BKPC$ — вписанный четырёхугольник. Сумма его противоположных углов равна $180^{\circ }\text{:}$

Угол $AKP$ смежный с углом $BKP$ (точка $K$ лежит на отрезке $AB$), поэтому

Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB\text{:}$ угол $A$ у них общий, а $\angle AKP=\angle ACB\text{.}$ Значит, треугольники подобны по двум углам:

Из подобия следует пропорциональность сходственных сторон (вершине $K$ соответствует $C\text{,}$ вершине $P$ — $B$):

Отсюда

По условию $BC$ в $1,8$ раза меньше $AB\text{,}$ то есть $\frac{CB}{AB}=\frac{1}{1,8}\text{.}$ Подставляя $AP=36\text{:}$

Ответ: $20\text{.}$