Задача №20288

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC\text{,}$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN\text{,}$ если $MN=15\text{,}$ $AC=25\text{,}$ $NC=22\text{.}$

Прямая $MN$ параллельна стороне $AC\text{,}$ поэтому она отсекает от треугольника $ABC$ подобный ему треугольник $BMN\text{.}$

Подобие. У треугольников $BMN$ и $BAC$ угол $B$ общий, а углы $BMN$ и $BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $MN\parallel AC$ и секущей $AB\text{.}$ Значит, $△BMN\sim △BAC$ (по двум углам).

Коэффициент подобия. Сходственные стороны $MN$ и $AC$ дают

Находим $BN\text{.}$ Сходственные стороны $BN$ и $BC$ связаны тем же коэффициентом: $\frac{BN}{BC}=\frac{3}{5}\text{.}$ Так как точка $N$ лежит на стороне $BC\text{,}$ то $BC=BN+NC=BN+22\text{.}$ Получаем уравнение

Отсюда $5BN=3(BN+22)\text{,}$ то есть $2BN=66$ и $BN=33\text{.}$

Проверка. При $BN=33$ имеем $BC=33+22=55\text{,}$ и $\frac{BN}{BC}=\frac{33}{55}=\frac{3}{5}\text{,}$ что совпадает с $\frac{MN}{AC}=\frac{3}{5}\text{.}$

Ответ: $BN=33\text{.}$