Задача №20286

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если $AF=12\text{,}$ $BF=9\text{.}$

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с боковой стороной $AB\text{.}$ Тогда основания $AD$ и $BC$ параллельны, а $AB$ — секущая.

Шаг 1. Сумма углов при боковой стороне. Углы $A$ и $B$ — внутренние односторонние при параллельных прямых $AD\parallel BC$ и секущей $AB\text{,}$ поэтому

Шаг 2. Угол между биссектрисами. $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B\text{,}$ значит $\angle FAB=\frac{\angle A}{2}\text{,}$ $\angle FBA=\frac{\angle B}{2}\text{.}$ В треугольнике $ABF\text{:}$

поэтому

Шаг 3. Теорема Пифагора. Треугольник $ABF$ прямоугольный с прямым углом при $F\text{,}$ значит $AB$ — гипотенуза:

Ответ: $AB=15\text{.}$