Задача №19880

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины $A\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB\text{,}$ если $\cos \angle BAC=\frac{2\sqrt{2}}{3}\text{.}$

Дано: $AM=9\text{,}$ $AN=32$ ($M\text{,}$ $N$ на стороне $AC$), окружность проходит через $M$ и $N$ и касается луча $AB\text{;}$ $\cos \angle BAC=\frac{2\sqrt{2}}{3}\text{.}$

1. Длина касательной. Пусть окружность касается луча $AB$ в точке $T\text{.}$ Для точки $A$ отрезок $AT$ — касательная, а $AMN$ — секущая. По теореме о касательной и секущей

2. Стороны $TM$ и $TN\text{.}$ В треугольнике $ATM$ известны $AT=12\sqrt{2}\text{,}$ $AM=9$ и угол $A$ с $\cos A=\frac{2\sqrt{2}}{3}\text{.}$ По теореме косинусов

откуда $TM=9\text{.}$

Аналогично в треугольнике $ATN$ ($AT=12\sqrt{2}\text{,}$ $AN=32$):

3. Треугольник $TMN$ и радиус. Точки $M\text{,}$ $N\text{,}$ $T$ лежат на искомой окружности, поэтому её радиус — это радиус окружности, описанной около треугольника $TMN\text{,}$ где $TM=9\text{,}$ $TN=12\sqrt{2}\text{,}$ $MN=AN-AM=23\text{.}$

Найдём угол $\angle MTN$ по теореме косинусов:

Тогда $\sin \angle MTN=\sqrt{1-\frac{200}{729}}=\frac{23}{27}\text{.}$

По теореме синусов для треугольника $TMN\text{:}$

Ответ: $R=13,5\text{.}$