Задача №19870

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD\text{,}$ если $AB=30\text{,}$ $CD=40\text{,}$ а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 20.

Радиус, проведённый в середину хорды, перпендикулярен ей, поэтому расстояние от центра до хорды, половина хорды и радиус образуют прямоугольный треугольник.

Шаг 1. Находим радиус по хорде $AB\text{.}$

Перпендикуляр из центра $O$ на хорду $AB$ делит её пополам, значит половина хорды равна $\frac{AB}{2}=\frac{30}{2}=15\text{.}$ Расстояние от центра до $AB$ равно $20\text{.}$ По теореме Пифагора:

Шаг 2. Находим расстояние от центра до хорды $CD\text{.}$

Аналогично половина хорды $CD$ равна $\frac{CD}{2}=\frac{40}{2}=20\text{.}$ Обозначим искомое расстояние $d\text{.}$ По теореме Пифагора для треугольника с радиусом $R=25\text{:}$

Ответ: $15\text{.}$