Задача №20282

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 16. Найдите стороны треугольника $ABC\text{.}$

Пусть медиана $AD$ (точка $D$ — середина $BC$) и биссектриса $BE$ (точка $E$ на $AC$) пересекаются в точке $P\text{.}$ По условию $AD\perp BE$ и $AD=BE=16\text{.}$

Шаг 1. Треугольник $ABD$ равнобедренный.

Точка $D$ лежит на стороне $BC\text{,}$ поэтому луч $BD$ совпадает с лучом $BC\text{,}$ а значит отрезок $BP$ (часть биссектрисы $BE$) является биссектрисой угла $ABD$ в треугольнике $ABD\text{.}$ При этом $BP\perp AD\text{,}$ то есть эта биссектриса одновременно является высотой к стороне $AD\text{.}$ Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, треугольник равнобедренный: $BA=BD\text{,}$ а основание делится пополам, поэтому $P$ — середина $AD\text{:}$

Отсюда $BA=BD=\frac{1}{2}BC\text{,}$ то есть $BC=2AB\text{.}$

Шаг 2. Находим $BP$ через среднюю линию.

В треугольнике $BEC$ точка $D$ — середина $BC\text{.}$ Проведём $DF\parallel BE\text{,}$ $F\in EC\text{.}$ Тогда $DF$ — средняя линия треугольника $BEC\text{,}$ поэтому $F$ — середина $EC$ и

Теперь в треугольнике $ADF$ точка $P$ — середина $AD\text{,}$ а $PE\parallel DF$ (обе прямые лежат на $BE\parallel DF$). Значит $PE$ — средняя линия треугольника $ADF\text{,}$ откуда

Следовательно $BP=BE-PE=16-4=12.$

Шаг 3. Стороны.

Угол $APB=90^{\circ }$ (так как $AD\perp BE$). В прямоугольном треугольнике $APB\text{:}$ $AP=8\text{,}$ $BP=12\text{,}$ поэтому

Тогда $BC=2AB=8\sqrt{13}.$

Угол $APE=90^{\circ }\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $APE\text{:}$ $AP=8\text{,}$ $PE=4\text{,}$ поэтому

Из построения $AE=EF=FC$ (E — середина $AF\text{,}$ F — середина $EC$), значит $AC=3AE=12\sqrt{5}\text{.}$ Это согласуется со свойством биссектрисы: $\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}\text{.}$

Ответ: $AB=4\sqrt{13}\text{,}$ $BC=8\sqrt{13}\text{,}$ $AC=12\sqrt{5}\text{.}$