Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=35, BC=21, CF:DF=5:2.

Задача №20279: Геометрические задачи на вычисление

В трапеции $A B C D$ основания $B C = 21$ и $A D = 35,$ а прямая $E F ∥ B C ∥ A D$ пересекает боковые стороны в точках $E \in A B$ и $F \in C D,$ причём $C F : D F = 5 : 2 .$

Дополнительное построение. Через вершину $B$ проведём прямую $B K ∥ C D$ ( $K$ лежит на $A D$ ); она пересекает отрезок $E F$ в точке $P .$

Параллелограммы.

Четырёхугольник $B C F P :$ $B C ∥ P F$ (обе параллельны основаниям) и $B P ∥ C F$ (обе лежат на параллельных прямых $B K$ и $C D$ ). Значит, $B C F P$ — параллелограмм, поэтому $P F = B C = 21$ и $B P = C F .$
Четырёхугольник $P F D K :$ $P F ∥ K D$ и $P K ∥ F D .$ Значит, это параллелограмм, поэтому $P K = F D .$

Отсюда $B K = B P + P K = C F + F D = C D,$ а значит

\frac{B P}{B K} = \frac{C F}{C D} = \frac{C F}{C F + D F} = \frac{5}{5 + 2} = \frac{5}{7} .

Подобие. В треугольнике $A B K$ отрезок $E P ∥ A K$ (так как $E F ∥ A D$ ), поэтому $△ B E P \sim △ B A K$ и

\frac{E P}{A K} = \frac{B P}{B K} = \frac{5}{7} .

При этом $A K = A D - K D = A D - B C = 35 - 21 = 14$ (ведь $K D = P F = B C = 21$ ). Значит,

E P = \frac{5}{7} \cdot 14 = 10.

Итог.

E F = E P + P F = 10 + 21 = 31.

Ответ: $E F = 31 .$

Задача №20279

Задача #20279

Решай похожие задачи

Информация

Задача #20279

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация